原名：Uber Die Hypothesen, Welche Der Geometrie Zu Grunde Liegen 2te (Jürgen Jost)
英文译名：On the Hypotheses Which Lie at the Bases of Geometry (Jürgen Jost)
正文
按，以下这一段是在反对一种传统想法：几何学不是纯粹从理性、公理或“空间的先天观念”中必然推出的体系。黎曼认为，欧几里得几何只是关于空间的一套经验性假设。它在我们日常观察范围内非常可靠，但当我们把它推到极大尺度，比如宇宙尺度，或者极小尺度，比如微观尺度时，它是否仍然成立，就不再是先天必然的，而需要进一步考察。众所周知，几何学把“空间”的观念以及在空间中进行构造的第一原理，都当作已经给定的东西。几何学虽然给出了这些东西的定义，但这些定义只是名义上的定义；真正起规定作用的内容，则表现为公理的形式。于是，这些假定之间的关系仍然处在晦暗之中：我们既不能看出它们之间的联系是否是必然的，也不能看出这种联系在多大程度上是必然的；并且，我们也不能先天地知道这种联系是否可能。
从欧几里得到勒让德——这里举出这位近代改革几何学家中最著名的人物——无论是数学家，还是那些关注这一问题的哲学家，都没有把这种晦暗澄清。其原因无疑在于：多重扩展量这一一般观念，也就是包括空间量在内的那种一般观念，始终完全没有得到处理。
因此，我首先给自己提出的任务，是从一般的“量”的观念出发，构造出“多重扩展量”的观念。由此可以推出：一个多重扩展量可以具有不同的度量关系；因而，空间只是一个三重扩展量的特殊情形。
但由此又必然得出一个结论：几何学的命题不能从一般的“量”的观念中推导出来；那些把空间区别于其他可以设想的三重扩展量的性质，只能从经验中推导出来。
于是问题就产生了：我们要发现那些最简单的事实，根据这些事实，空间的度量关系可以被确定下来。就问题本身的性质而言，这个问题并不是完全确定的；因为可能存在若干套事实系统，它们都足以确定空间的度量关系。对于我们现在的目的来说，最重要的一套系统，就是欧几里得作为基础而提出的那套系统。
这些事实——像所有事实一样——并不是必然的，而只是具有经验上的确定性；它们是假设。因此，我们可以考察它们的可能性或可信程度。在观察所及的范围之内，这种可信程度当然是非常大的；同时，我们也可以追问：把这些假设扩展到观察范围之外，是否正当？这种追问既要面向无限大的方面，也要面向无限小的方面。
一、n 维扩展量的概念
在着手尝试解决上述第一个问题，也就是发展“多重扩展量”这一概念时，我想我更有理由请求读者宽容地批评。因为我并不熟悉这种带有哲学性质的工作；在这类工作中，困难更多地存在于概念本身，而不是存在于构造之中。此外，除了高斯枢密顾问在关于四次剩余的第二篇论文、《哥廷根学术通报》以及他的纪念文集中对这一问题所作的若干极简短提示，还有赫尔巴特的一些哲学研究之外，我几乎没有可以利用的前人工作。
1. “量”的概念，只有在已经预先存在一个一般概念，并且这个一般概念能够容纳不同的特殊化时，才是可能的。按照这些特殊化之间是否存在从一个到另一个的连续路径，它们构成一个连续的 manifoldness，或者一个离散的 manifoldness。在前一种情况下，这些个别的特殊化被称为这个 manifoldness 的“点”；在后一种情况下，则被称为这个 manifoldness 的“元素”。
那些特殊化构成离散 manifoldness 的概念，是如此常见，以至于至少在各种有文化的语言中，只要给定若干事物，总是可以找到一个概念，把这些事物包括在内。因此，数学家可以毫不犹豫地把离散量的理论建立在这样一个公设之上：某些给定的事物可以被看作彼此等价。
另一方面，形成那些其特殊化构成连续 manifoldness 的概念的机会，却非常少见。以至于其特殊化构成多重扩展 manifoldness 的简单概念，只有两个：一个是被感知对象的位置，另一个是颜色。至于创造和发展这类概念的更频繁机会，则首先出现在高等数学之中。
按，这里的 manifoldness 暂时可以译成“流形性”“多样体”“多重性整体”，但如果为了顺着黎曼的思路读，建议优先理解为“一个由许多可能状态组成的整体”。
这一段很关键，黎曼在做一件非常抽象的事：他不是一上来就说“空间是三维的”，而是先问：什么叫“量”？什么叫“连续的量”？什么叫“多重扩展的量”？
他的逻辑大概是：
第一，任何“量”的概念，都不是凭空出现的。它必须先有一个更一般的概念。
比如“颜色”是一个一般概念，红、黄、蓝、深红、浅蓝是它的不同特殊化。
又比如“位置”是一个一般概念，桌子左边、窗户旁边、地球某个经纬度，是它的不同特殊化。第二，这些特殊化之间，有的可以连续过渡，有的不能。
比如颜色可以从红一点点过渡到橙，再到黄；位置也可以从一点连续移动到另一点。
这就叫连续的 manifoldness。但如果是“苹果、石头、马、书”这些对象，虽然可以被归入某个共同概念，比如“物体”，但它们之间没有一种自然的连续路径。你不能从苹果一点点连续变成马。
这就叫离散的 manifoldness。第三，如果这个连续整体不止一个方向可以变化，它就是“多重扩展”的。
比如位置：
在一条线上，只有前后一个方向，是一重扩展。
在平面上，有左右、前后两个方向，是二重扩展。
在普通空间里，有左右、前后、上下三个方向，是三重扩展。颜色也类似。颜色不是只按一个方向变化。它可以有色相、明度、饱和度等不同变化方向，所以黎曼说“颜色”也是少数可以自然形成多重扩展 manifoldness 的简单概念之一。
可以把这段压缩成一句话：
黎曼认为，“多重扩展量”不是从空间直接来的，而是从更一般的“一个概念的连续特殊化整体”中抽象出来的；空间只是这种连续多重整体的一个例子。黎曼把“空间”降格了。空间不再是哲学上唯一、先天、不可动摇的根基，**而只是“连续多重扩展量”中的一个特例。**这样，数学就可以研究许多种可能的空间，而不只研究欧几里得空间。
一个 manifoldness 中，由某种标记或边界区分出来的确定部分，称为 量体，即 Quanta。
对于这些量体，就数量而言，可以进行比较。若是离散量，这种比较通过计数完成；若是连续量，则通过测量完成。所谓测量，乃是把要比较的量相互重合、叠置起来；因此，测量需要一种手段，使得一个量可以被用作另一个量的标准。
如果缺少这种手段，那么两个量只有在一个是另一个的一部分时，才能被比较；而且在这种情况下，我们也只能判定“多一些”或“少一些”，却不能判定“多多少”。
在这种情况下可以对这些量进行的研究，构成了“量的科学”的一个一般部门。在这个部门中，量不是被看作独立于位置而存在的，也不是被看作可以用某个单位来表达的；相反，它们被看作一个 manifoldness 中的区域。
这类研究对于数学的许多部分已经变得必要，例如对于多值解析函数的处理就是如此。而这类研究的缺乏，无疑也是一个主要原因：为什么阿贝尔的著名定理，以及拉格朗日、普法夫、雅可比在微分方程一般理论方面的成果，会长期没有充分结出果实。
在这门关于“扩展量”的科学的一般部分中，除了其概念本身所包含的东西之外，并不假定其他内容。为了当前的目的，我们只需要突出其中两点：第一点涉及“多重扩展 manifoldness”这一概念的构造；第二点涉及如何把一个给定 manifoldness 中的位置规定，还原为数量规定；这也将阐明一个 n 重扩展体的真正性质。
按，这里的逻辑可以简单拆开：
1. manifoldness 中的一块区域，就是 Quantum / Quanta。
比如一条线段、平面上的一个区域、球面上的一块区域、空间中的一个体积区域，都可以叫 quanta。这里不是现代物理里的“量子”，而是拉丁语意义上的“某个确定的量”。2. 离散量靠数，连续量靠量。
离散的东西，比如苹果、书、人，可以一个一个数。
连续的东西，比如长度、面积、体积，不能靠数“点”来比较，而要靠测量。3. 测量需要标准。
比如你要知道桌子有多长，就要拿尺子去比。尺子就是标准。
没有标准时，你只能说“这一段比那一段长”，不能说“长多少”。4. 黎曼这里强调：有些数学对象不能一开始就用固定单位来量。
它们首先只是某个连续整体中的“区域”或“位置”。只有进一步建立测量规则之后，才能谈长度、距离、大小。这对后面的黎曼几何非常关键：
流形本身只是一个连续的“位置整体”；但距离、长度、角度、曲率，不是流形本身自动带有的，而要靠额外的度量结构来规定。
也就是说：
**先有“位置的连续整体”——流形； 再有“如何测量”——度量； 最后才有几何。**黎曼正在把几何学从“研究先天给定的空间”改造成：研究各种可能的连续整体，以及在这些整体上可以怎样规定测量关系。
2. 如果有一个概念，它的各种特殊化构成一个连续的 manifoldness；并且我们以某种确定的方式，从某一个特殊化过渡到另一个特殊化，那么，在这个过程中所经过的那些特殊化，就构成一个一重扩展的 manifoldness。这种 manifoldness 的真正特征在于：在其中，从一个点出发的连续前进，只可能朝两个方向进行，即向前或向后。
如果现在假设这个 manifoldness 本身又以某种确定的方式过渡到另一个完全不同的 manifoldness，也就是说，使其中的每一个点都过渡到另一个 manifoldness 中的某一个确定的点，那么，由此获得的全部特殊化，就构成一个二重扩展的 manifoldness。
以类似的方式，如果设想一个二重扩展的 manifoldness 以某种确定的方式过渡到另一个完全不同的二重扩展 manifoldness，就得到一个三重扩展的 manifoldness。由此也很容易看出，这种构造可以怎样继续下去。
如果我们考虑的不是这个可规定概念本身，而是那个可变化的对象，那么这种构造可以描述为：由一个 n 维的可变性 和一个 一维的可变性 复合出一个 n + 1 维的可变性。
按，这一段其实是在讲：**维度是怎么一层一层生成出来的。**可以这样理解：
一条线怎么来？
从一个点开始，沿着一个确定方向连续移动，移动过程中经过的所有点，就构成一条线。
这就是一重扩展，也就是一维。一个面怎么来？
让一条线整体移动到另一条线的位置。
线上的每一个点，都对应移动到另一条线上的某一个点。
这个过程中扫过的全部位置，就构成一个面。
这就是二重扩展，也就是二维。一个体怎么来？
让一个面整体移动到另一个面的位置。
这个过程中扫过的全部位置，就构成一个体。
这就是三重扩展，也就是三维。所以黎曼的想法可以用一个直观图像表示：
点移动成线； 线移动成面； 面移动成体； n 维对象移动，生成 n+1 维对象。
这里的 forwards or backwards 很重要。
一维对象的特征就是：从一个点出发，局部只有两个方向可以走——往前或往后。比如在一条线或一条曲线上，你不能“向左转入另一个方向”，只能沿线前进或后退。而二维对象就不同了。你在平面或球面上，从一个点出发，可以向无数方向走。
三维对象更复杂，可以在更多自由方向中变化。最后一句里的 variability 可以理解为“可变性”“变化自由度”。所谓 n 维，就是有 n 个独立的变化自由度。
因此：维度 = 独立变化方向的数目。
3. 现在我要反过来说明：对于一个其区域已经给定的可变性，如何把它分解为一个一维的可变性和一个维数较少的可变性。
为此，我们设想一个一维 manifoldness 中的可变部分——从一个固定的原点开始计算，这样它的各个值就可以彼此比较。并且假定：对于给定 manifoldness 中的每一个点，这个可变部分都有一个确定的值，而这个值随着点的位置连续变化。换句话说，我们取一个在给定 manifoldness 内部关于位置的连续函数，并且这个函数在该 manifoldness 的任何一个部分中都不是处处恒定的。
于是，所有那些使这个函数具有同一个常值的点的系统，就构成一个维数比原来给定的 manifoldness 更低的连续 manifoldness。
随着这个函数的值发生变化，这些较低维的 manifoldness 也连续地相互过渡。因此，我们可以假定，其他这些 manifoldness 都是从其中某一个 manifoldness 产生出来的；一般说来，这种产生可以这样发生：其中每一个点都过渡到另一个 manifoldness 中的某一个确定的点。至于例外情形，虽然对它们的研究很重要，但在这里可以暂且不予考虑。
这样一来，给定 manifoldness 中的位置规定，就被还原为两件事：一个数量的规定，以及一个较低维 manifoldness 中的位置规定。
现在很容易看出：如果原来给定的 manifoldness 是 n 重扩展的，那么这个较低维 manifoldness 就具有 n − 1 维。于是，通过把这个操作重复 n 次，一个 n 重扩展 manifoldness 中的位置规定，就被还原为 n 个数量规定。因此，在可能的情况下，给定 manifoldness 中的位置规定，就可以被还原为有限个数量规定。
不过，也有一些 manifoldness，其中位置的规定并不需要有限个数量规定，而是需要一个无穷序列，或者需要一个连续 manifoldness 的数量规定。例如：在一个给定区域上，一个函数的各种可能规定；一个立体形状的各种可能形态，等等。
按，这一段是在讲一个非常重要的思想：坐标是怎么来的。
前一节说的是：**点移动成线，线移动成面，面移动成体。**也就是从低维生成高维。
这一节反过来说：**一个高维对象，也可以通过连续函数一层一层切开，最后还原成若干个数量。**举一个最直观的例子：平面。在平面上，每个点都有一个横坐标 x。如果我们固定 x = 1，那么所有满足 x = 1 的点，就构成一条竖直线。如果固定 x = 2，又得到另一条竖直线。这些竖直线随着 x 的变化连续移动。
于是，平面上的一个点可以由两部分确定：
第一，x 是多少； 第二，在那条 x = 常数的线上，点在哪里。
而那条线是一维的，所以还需要一个 y。
于是平面上的位置就变成两个数量：x, y。三维空间也一样。先用一个函数，比如 x，把空间切成一张张平面：**x = 常数，**每一张平面都是二维的。然后再在这张平面上用 y 切成线。再在线上用 z 确定点。所以三维空间中的位置可以还原为三个数量：x, y, z。
黎曼这里的说法非常抽象，但核心就是：n 维的意思，就是确定一个位置通常需要 n 个独立数量。
不过他最后又补充了一个很深的点：并不是所有“可变性”都能用有限个数来确定。比如“一个函数”本身。如果你要确定一条曲线，不能只给一个数、两个数、三个数。你要说明它在每一个点上的取值。也就是说，你需要无穷多个信息，甚至需要一个连续范围上的信息。
所以黎曼已经区分了两类对象：
有限维 manifoldness：位置可以由有限个数量确定，比如线、面、三维空间、n 维流形。
无限维 manifoldness：一个对象本身需要无穷多个数量来确定，比如函数空间、所有可能的曲线、所有可能的立体形状。用一句话概括这一节：黎曼说明了：n 重扩展量之所以是 n 重，是因为其中任意位置可以通过 n 次连续切分，最终用 n 个数量来确定；但还有更复杂的对象，需要无穷多个数量才能确定。